Proč jsou některé souzvuky ladné?

Tato stránka původně vznikla jako odpověď na mail. Je to trochu matiky.

> Malá otázka - matematické odvození proč jsou některé souzvuky ladné?

Nikdy jsem se o tom nikde nic nedočetl, ale dospěl jsem sám k nějakým závěrům. Ten princip vychází z evoluční biologie. Každý zvuk v přírodě přirozeně obsahuje vyšší harmonické tóny. Ucho je přizpůsobeno tomu, aby vyšší harmonické umělo rozpoznat jako součást tónu základního (resp. základního zvuku). Uchu se přirozeně líbí souzvuky, které mají příbuznou frekvenci (nějaký násobek). Naopak ucho nemá rádo zmatek, protože pak neví, co slyší. Zmatek jsou nepříbuzné tóny znějící najednou. Tolik pro začátek.

Vyšší harmonické mají frekvence jako násobek tónu základního. Nejvíc je tam dvojnásobek, trojnásobek atd. Ucho je vnímá jako příbuzné tónu základního, ale zároveň i příbuzné mezi sebou.

Nejpříbuznější tóny jsou vůči sobě v oktávě, to je dvojnásobek. Ale třeba trojnásobek základu nebo také frekvence 3/2 krát základ -- to je kvinta. 4/3 je další interval, který se dá najít -- to je kvarta. A 5/4 je ... tercie. Pythagoras třeba objevil, že když napne strunu dvakrát více, dostane oktávu. Když je závaží 3/2 základu, zní kvinta. Takže ladné jsou tercie, kvarta a kvinta.

> To jako 3x3 + 4x4 = 5x5?

Pythagora to tehdy taky napadlo a docela ho to vzalo, dělal kolem toho pak spoustu čachrů (mj. hudba sfér). Ale je to náhodný vztah. Co si Pythagoras neuvědomil, je fakt, že počítání tónů 3 4 5 vychází z kombinace chyb -- jednak Řekové (stejně jako my) počítali tóny od jedničky (já počítám od nuly). A jednak nepočítali půltóny, ale tóny.

Když už píšu o matice, tak to dokončím o terorii temperovaného a přirozeného ladění. Když si výše zmíněné zlomky vyčíslíš, vyjdou ti takováto čísla:

3/2 = 1,5

4/3 = 1,333333

5/4 = 1,25

Jsou to kvinta, kvarta a tercie ve vyšší oktávě. Když má u nástroje kvinta, kvarta a tercie tyto poměry, říká se tomu přirozené ladění. A teď si vypočítáme následující výrazy, (za chvíli bude vidět proč):

2^(7/12) aneb dvě na sedm dvanáctin

2^(5/12) aneb dvě na pět dvanáctin

2^(4/12) aneb dvě na čtyři dvanáctiny

Takže:

2^(7/12) = 1.49830708

2^(5/12) = 1.33483985

2^(4/12) = 1.25992105

Hodně podobné přirozenému ladění. Tato mírně šoupnutá čísla jsou stejné intervaly temperovaného ladění. A proč 7, 5 a 4? To už není Pythagorova věta, ale půltónové intervaly kvinty, kvarty a tercie, ladných to souzvuků. Půltónový interval odpovídá ve fyzice dvanácté odmocnině ze dvou (dvě na jednu dvanáctinu).

Další ladný souzvuk je malá tercie, čili tři půltóny. Tady nemám úplně jasno, každopádně vím, že

2^(9/12) = 1.68179283 .= 5/3

A čím to, že mocniny dvanácté odmocniny ze dvou vycházejí takhle hezky skoro rovné zlomkům? To už tak prostě je. Ani Bůh, kdyby to chtěl změnit, tohle nezmění. Prostě to tak vychází. A také proto je dvanáctka považována za magické číslo. A půltónů je dvanáct.