K čemu je to dobré - Odhadování a zanedbávání - Sčítej odpředu - Opravy procenty - Známá čísla - Míchání zadáním - Asociace, představy - Čísla a řád zvlášť - Převádění dělení na násobení - Rozdíl čtverců - Kontrola: poslední číslice - Sčítání haléřů - Kupujeme zeleninu - Odmocniny - Závěr
Inu, je to na nic. Jako všechno. Takže řekněme, že počítání zpaměti vnáší radost do života. Všechny knihy o lidském myšlení radí: Používejte mozek, jinak o něj přijdete!
V počítání z hlavy nejsem žádný super mistr, přesto rád publikuji pár postupů, které používám. Kurzívou značím příklady.
Zpravidla nepoužívám kalkulačku, takže když nemám počítač, musím počítat z hlavy. Někdy je to i rychlejší, než když tu kalkulačku nebo počítač mám. Počítání z hlavy má tedy opravdový smysl jen tehdy, když jde o rychlost. Nebo o efekt.
Přestože jsou české školy vesměs na nic, některé základy matematiky jsou potřeba. Takže se hodí teoreticky umět sčítat. Taktéž se předpokládá malá násobilka. Je dobré znát krácení zlomků. Je potřeba vědět, jak násobení desítkami přidává nuly nebo šoupe s desetinou čárkou. A to je tak všechno. Věci, které budu popisovat, patří většinou do vysokoškolské matematiky nebo psychologie, ale tam se to vždycky tak zatemní, že tomu nikdo nerozumí.
| *Platná číslice je každá, která není nula na kraji.
Nerozumíš-li, nech to být, nezáleží na tom. **Promile je desetkrát méně než procento, čili tisícina. |
Základní finta spočívá v tom, že málokdy potřebuji výsledek znát přesně. Většinou mi stačí jedna nebo dvě platné číslice*. Když potřebuji víc, tak už si to napíšu, ale to opravdu skoro nikdy není potřeba. Tři platné číslice je vlastně přesnost na jedno promile**, taková přesnost není normálně použitelná. 67*46=3082, ale mně většinou stačí vědět, že je to asi 3100 (dvě platné číslice namísto čtyř).
Výsledky se dají odhadovat bez újmy na kvalitě výpočtu (protože ta kvalita není potřeba). Alespoň pro rychlou představu o výsledku (a o rychlost jde) je odhadování neocenitelné. Některé způsoby, kterým se dají výsledky odhadovat, proberu v dalších odstavcích.
Další trik je zanedbávání -- nižší řády prostě zapomenu nebo se tím nezdržuji. Když mám 5000 + 2, tak tu dvojku prostě ignoruji.
Jedním z hlavních důvodů pro zanedbávání je nutnost -- já prostě dlouhé číslo v paměti neudržím. Krátké ano, protože to si představím.
Ve škole jsme se učili sčítat odzadu -- napřed jednotky, pak desítky, vyšší řády nakonec. Chci-li se rychle dostat k přibližnému výsledku, musím to dělat právě naopak -- nejdříve sčítat vyšší řády. Je to o trochu těžší, protože pak občas musím zpětně zvednout nějakou již vypočtenou číslici (to není nutné v tom školním postupu, právě proto se používá). Opět mi stačí vypočítat jenom první dvě tři číslice.
Je jasné, že při složitějších výpočtech by se odhadováním a zanedbáváním chyby sčítaly a šířily, až by výsledek zničily. Nejjednodušší způsob oprav (protože na složité nebývá čas) je počítání procent. Během celého výpočtu si pamatuji a sčítám, kolik procent jsem zanedbal nebo schválně přidal (či ubral) a nakonec výsledek o ta procenta opravím. (Správně by se ta procenta měla násobit, ale protože to jsou většinou malá čísla, dají se i sčítat.) Například počítám 33*33. To je přibližně 32*32, což je 1024 (tenhle výsledek znám zpaměti). 33 se od 32 liší přibližně třemi procenty, které musím započítat dvakrát (třicettrojky byly dvě), takže přidám šest procent. To je z tisícovky šedesát, takže výsledek je někde kolem 1084, což mi většinou stačí. (U tohoto příkladu se dá podle poslední číslice a dělitelnosti trojkou navíc uhádnout, že je to 1089.) Opravdová výhoda počítání procent vyplyne při delších výpočtech.
Na předchozím příkladu jste jistě postřehli malý detail: některé výsledky znám zpaměti. Občas se to hodí. Obzvláště důkladně si pamatuji čtverce čísel (něco na druhou), mocniny dvojky (2, 4, 8, 16 atd.) trojky (3, 9, 27 atd.), součiny vysokých prvočísel (91, 119, 1001). Při výpočtu potom upravím zadání tak, abych dostal nějaký známý výsledek a potom to opravím, nejčastěji podle procent.
Používání známých čísel je v mém případě spíše strachem z čísel neznámých. Většinu těžkých příkladů se tedy pokouším řešit převedením na něco známého.
U každého těžkého výpočtu (zvláště má-li více kroků) se pokusím napřed přeházet činitele nebo sčítance do dvojic nebo skupinek, které dohromady dávají něco hezkého. Prostě využívám asociativity. Někdy to nejde, ale někdy ano. 2 * 732 * 5 je mnohem složitější než 2 * 5 * 732, toto je samozřejmě extrémní příklad. Nebo 14 + 28 + 9 + 16 + 52 je složitější než 14 + 16 + 28 + 52 + 9 = 30 + 80 + 9.
Násobení dvou jednoduchých čísel (pokud výsledek neznám) se snažím převést na něco známého postupem, který bude nejlépe patrný z příkladu: 18 * 8 = 6 * 24 = 12 * 12 = 144. Z prvního zadání jsem výsledek neuhodnul, tak jsem jedno číslo trojkou vydělil a druhé vynásobil. 6 * 24 stále nevím, ale je to to samé co 12 * 12, což už znám. Samozřejmě nemohu předem vědět, že se dostanu na něco známého, jsou to takové pokusy. Ale právě kvůli používání této metody je důležité mít hodně známých čísel -- záchytných bodů. Nebo to stačí převést na něco, co se dá řešit jinou metodou: 44 * 9 = 22 * 18 = 400 - 4 = 396 (ta jiná metoda byl v tomto případě rozdíl čtverců).
Extrémní variantou předchozí metody je rozklad činitelů na prvočísla a jejich opětovné seskládání. To už je ale jenom pro hračičky, kteří nevědí, co s časem. Někdy je to ale jediná alternativní metoda výpočtu. Je dobré umět každé číslo rychle rozložit na prvočísla postupným dělením. Příklad totální výhodnosti mě zrovna nenapadá. Takže jenom tréninkově: 42*42 = 2 * 3 * 7 * 2 * 3 * 7. Další výpočet je třeba = 6 * 6 * 49 = 36 * (50 - 1) = 18 * 100 - 36 = 1800 - 36 = 1764
Zdají se vám předchozí příklady těžké? Že to zpaměti nejde? Ale jde. Jenom je potřeba umět si čísla nějak představit, aby si s nimi mozek lépe rozuměl. Já to dělám pomocí číselné osy a barvy čísel.
Vtloukali nám to do hlavy ve škole a tohle mi do ní náhodou vtkoukli. Každou část číselné řady si představuji jako kus nějaké země. Jednorozměrné. Přitom je zajímavé, že v té zemi jsou význačné body (známá čísla) a hranice (mocniny desítky). Když přicházím do styku s číslem, kromě toho, že si uvědomím jeho hodnotu, jej podvědomě lokalizuji na číselné ose.
Když jsem psal následující kapitolu, nevěděl jsem ještě o sobě, že jsem synestetik. Následující popis by se dal brát za typickou ukázku synestezie, což je způsob mozkového vnímání, které přiřazuje vjemům myšlenkové asociace z jiných smyslů, například (a nejčastěji) představám písmen přiřazuje představy barev. Pokud synestezii sami nemáte, barvy vám při počítání nepomohou.
Další moje úchylka spočívá v barvení cifer. Každá číslovka má svoji barvu, kterou si také mimochodem vybavuji. Dokonce se domnívám, že na základě barev umím malou násobilku. Ne že by v tom byla nějaká logika -- jako že žlutá s modrou dá zelenou -- to vůbec ne. Jde jenom o představy. Také vím, jak to vzniklo -- jako malý jsem si řadil fixy podle barev. Jak ale vypadají moje barevné asociace:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| čirá | bílá | žlutá | šedo černá | červená | světle modrá | tmavě modrá | světle zelená | tmavě zelená | hnědá |
Všimněte si, že syté teplé barvy odpovídají číslům sudým, lichá čísla jsou více pastelová nebo chladnější.
Vyšší čísla mají barvu smíchanou podle barev cifer, ale zároveň se pod ně promítají barvy jejich nízkých dělitelů. Tak například číslo 18 je bílo-zelené, ale pod touto barvou je silná černá a trochu modré. V čísle 121 prosvítá žlutá jenom velmi velmi málo, protože kromě dvou jedniček se tam tlačí dvě sytě bílé jedenáctky. Některá čísla jsou pestrou směsí všeho. Např. 24, ale tam je málo modré, v čísle 60 zase není ani stopa zelené. Prvočísla (vysoká) mají v mých představách výrazně šedý nádech, čím jsou vyšší, tím jsou šedší.
Každý synestetik má ohledně čísel svoje vlastní představy a asociace.
Když násobím nebo dělím, napřed se moc nezajímám o řády (neboli o desetinou čárku). Násobit číslo 600 číslem 80 je pro mě v první chvíli totéž jako 48. Teprve pak v duchu sečtu nuly a upravím řád.
Někdy je sčítání nul narychlo neuskutečnitelné. Pak přichází na řadu míchání zadáním. Řeknu si: 600 * 80 je jako 6000 * 8. Většinou si ještě pro kontrolu zkouším ta čísla nějak reálně představit. Nejčastěji v korunách.
Násobení je obecně snazší než dělení. Vtip mého oblíbeného triku je v tom, že u většiny malých čísel znám jejich převrácené hodnoty. Jinými slovy pro každé malé x znám přibližně y = 100 děleno x.
| x | 2 | 2,5 | 3 | 4 | 5 | 6 | 6,7 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 100/x přibližně | 50 | 40 | 33 | 25 | 20 | 16,6 | 15 | 14 | 12,5 | 11 |
Platí to i opačně. Znám těch čísel trochu víc, tohle je jenom pro ilustraci.
No tak třeba mám rychle spočítat 44 / 5. A já vím, že dělení pěti je vlastně násobení dvěma (pominu-li řád). Takže 88. Pak si to představím, vyjde mi, že je to moc, ale 8,8 by to být mohlo. A taky že jo.
Nebo třeba 120 / 14. Tak to je jako 120 * 7, což je jako 12 * 7, což je 84. Představím si to a je to moc, vyjít by mělo něco kolem desítky. Čili 8,4. V tomhle případě navíc vím, že mám chybu 2%, protože 14 * 7 = 98, což je stovka bez dvou. 2% z osmi jsou necelé dvě desetiny, takže výsledek je zhruba 8,6.
Tenhle výpočet vypadá komplikovaně, ale dá se udělat zhruba za dvě sekundy.
Další oblíbený trik, který pro nezasvěcené působí až magicky. Spočívá v použití známého vzorce (a + b) * (a - b) = a2 - b2.
Např. 42 * 38 = 40 * 40 - 2 * 2 = 1600 - 4 = 1596.
Pokaždé, když násobím dvě blízká čísla, se podívám, jestli jejich průměr není něco, od čeho znám druhou mocninu. Jestli ano, tak od té druhé mocniny odpočítám druhou mocninu poloviny rozdílu původních čísel.
Jeden z nejsnazších triků pro nalezení chyby. Stalo se mi jednou, že jsem se chlubil rychlým násobením zpaměti. (Mojí hlavní chybou bylo, že jsem se tím chlubil matfyzákům, což je velmi vypečený živočišný druh.) Dostal jsem příklad, už nevím, co to bylo, vynásobit dvě trojmístná čísla. Dobře se to plete, ale nic těžkého. Nahlásil jsem výsledek.
"To je špatně!" prohlásil zadavatel. "Safra," pomyslel jsem si, "jak to může vědět? Přece to nepočítá!"
Ukázalo se, že to opravdu nepočítal. Pouze kontroloval poslední číslici.
Budu to ilustrovat na předchozím příkladu 42 * 38: Jaká bude poslední cifra výsledku? Bude stejná jako poslední cifra součinu posledních cifer. 2 * 8 = 16, takže to bude šestka. A opravdu -- 42 * 38 = 1596.
Podobná metoda se dá použít u sčítání, ale je méně efektivní. Její obdobu jsem použil jednou v Plzni v sámošce na Klatovské. Tenkrát ještě byly haléře. Kupoval jsem 8 rohlíků, dva stejné jogurty, dvoje stejné rybičky a mléko, které stálo 11,20. Nijak zvlášť jsem nepřemýšlel o celkové ceně, přesto mě zarazilo, když si prodavačka řekla o obnos, který končil 30 haléři.
Jak může něco stát celkem něco třicet, když je všechno na sudo a to mléko končilo také sudými haléři? Prodavačka ze mě byla hotová, tvářila se, jako že ji zdržuji.
Nakonec z ní vylezlo, že účtují desetník za sáček na rohlíky.
Počátkem devadesátých let většina pražských zelinářů sprostě kradla tím způsobem, že vážili na mechanických vahách a říkali si o víc, než by odpovídalo deklarované ceně. Jestliže jsem chtěl nakoupit za správnou cenu, musel jsem částku vyslovit dříve než prodavač, aby to na mě nezkoušel.
Nevím, zda jste si někdy všimli mechanických vah. Na straně k prodavači mají škály podle různých cen, na straně k zákazníkovi mají jenom hmotnost. Takže není žádná sranda spočítat cenu rychleji než prodavač, protože ten ji vlastně "vidí".
Vtip je v tom, že jsem si cenu vždycky předpočítal. Třeba když byly banány za 18, tak jsem si řekl: půl kila je za devět, 6,7 je za dvanáct. Nebo se vynásobí váha dvěma a to samé se odečte v desetníkách. Pak jsem teprve položil zboží na váhu.
Když se pak váha zastavila na 0,64 kg a prodavač si řekl o dvanáct osmdesát, věděl jsem okamžitě, že krade, protože limit pro dvanáct korun byl 6,7. A řekl jsem mu, že to mělo stát jedenáct pade, což jsem byl schopen rychle spočítat (128 -13)/10. To díky tomu, že jsem si v duchu analyzoval cenu ještě než jsme začali vážit.
Problémem jiného rázu byl potom fakt, že mě ti prodavači posílali někam, místo aby se snažili něco mi prodat.
Královská metoda počítání zpaměti. Jejím výkladem jsem vždy zahajoval přednášku o využití derivací a Taylorových polynomech, abych zaujal předem znuděné posluchače. Předesílám, že se jedná o metodu přibližnou, v praxi však dostačující.
Předpokládám, že znáte druhé mocniny (aneb čtverce) malých čísel. Takové to 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 atd. Spočítat odmocniny z těchto čísel je samozřejmě snadné. Co ale z jiných čísel?
Každé číslo A je blízké nějakému známému čtverci B, takže se dá odhadnout alespoň přibližná hodnota.
Takže např. odmocnina z 28 je přibližně odmocnina z 25, čili 5. (A =28, B = 25)
Pak se spočítá, o kolik se to liší, čili oprava. Je jasné, že oprava musí být tím větší, čím víc se se A a B liší.
V tomto případě se 28 a 25 liší o 3. Tuto trojku později použiji.
Výpočet opravy je stěžejním bodem této mojí metody. Její vtip spočívá v tom, že k výpočtu opravy používám předběžný výsledek odmocniny. Vynásobím ji dvěma, převrátím a vynásobím to tím rozdílem. To je celá oprava.
Vezmu odmocninu z 25, čili 5. Krát dvě (protože druhá odmocnina) je deset, převráceno je jedna desetina. Vynásobím tou trojkou (28 - 25), dostanu 0,3.
Oprava se přičte k předběžnému výsledku (k odmocnině z B). Nebo odečte, pokud je A menší než B.
Takže tady se to přičte a vyjde 5,3. Kdybych stejnou metodou počítal odmocninu z 22, odečítalo by se to a vyšlo by 4,7.
Ještě jednou:
Odmocnina z 28 ≈ odmocnina z 25 + 3 * 1/5 * 1/2 = 5,3
kde 5 je odmocnina z 25, 3 je rozdíl mezi 28 a 25 a 1/2 je konstanta.
Jiný příklad
Odmocnina z 83 ≈ odmocnina z 81 + 2 * 1/9 * 1/2 = 9 + 0,11 = 9,11
kde 1/9 je 1/odmocnina z 81, 2 je 83 - 81, a 1/2 je konstanta.
Nelze zatajit, že tato metoda není přesná. Zejména dělá chyby u větších rozdílů.
Například odmocnina z 28 vyjde přesně 5,292. Chyba je tedy v až v třetí platné číslici, což je v pohodě. Pokud bychom ale počítali odmocninu z 35 podle čísla 25, vyjde 6, což je zřejmě blbost, protože 62 = 36.
Výpočet druhé opravy z Taylorova polynomu už není tak snadný, takže pouze uvedu, že se odvozuje z druhé derivace odmocniny jako funkce. Lepší je druhou taylorovskou opravu nepočítat použít tento postup iterativně: výslednou nepřesnou hodnotu umocnit na druhou, čímž dostanu velmi blízké číslo, jehož odmocninu znám, a tak mohu postup opakovat.
Později jsem zjistil, že tento můj postup je první iterace tak zvané Newtonovy nebo babylónské metody hledání odmocniny.
Tuto stránku jsem začal psát před dvěma roky. Nyní se problematikou počítání zpaměti soustavněji nezabývám.Už ani nevím, co jsem tímto textem sledoval. Dokonce jsem v původním textu našel prázdné nadpisy, u kterých nevím, co mělo být jejich obsahem:
Dělitelnost
Který trik použít?
Soustavy determinantem
Sinus
Když jsem si tehdy psal osnovu, tak jsem to věděl. Soustavu determinantem nebo výpočet sinu zpaměti sice zvládnu, ale nepřijde mi rozumné to někomu doporučovat. Dělitelnost zase používám skoro stále a u všeho. A to, který trik použít, tak to je jenom na zkušenosti.
Vím ale přesně, proč jsem to začal psát. Velice mne totiž zaujaly některé pasáže z knihy Richarda Feynmana To snad nemyslíte vážně, pane Feynmane. Tuto knihu velmi doporučuji. Jsou tam popisovány některé hezké triky. Je přitom samozřejmé, že na Feynmana nemám. Zpaměti logaritmy, integrály a opravy třetích odmocnin vážně nezvládám. (Osobně se domnívám, že v obecném pojetí geniality je Einstein špatný archetyp -- Feynman by byl přesnější.)
Přeji vám hodně matematických úspěchů.
Yuhů! janovsky@gmail.com
Hlavní stránka
Další moje weby: Jak psát web,
Tunisko,
Bulharsko,
Turecko